Enunciado

Determine as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f e estabeleça os domínios das compostas.

f x = x - 3

g x = x 2 + 3

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:

f ∘ g x = f g ( x )

Dessa forma, o domínio da composição f g ( x ) consiste em todo x no domínio de g com o qual g ( x ) está no domínio de f . Como assim?

Vamos ver o domínio de g e o de f , depois, vamos ver quais os valores do domínio de g que fazem g ( x ) se encaixar no domínio de f . Vai ficar melhor na prática!

Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = x - 3

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:

x - 3 ≥ 0

x ≥ 3

Assim, o domínio de f é:

[   3 , + ∞ )

E:

g x = x 2 + 3

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então:

x 2 + 3 ≥ 0

x 2 ≤ - 3

Como não temos números reais que fiquem negativos ao quadrado, não precisamos nos preocupar com essa restrição. Logo, o domínio de g é:

( - ∞ , + ∞ )

Ou seja, qualquer número dentro dos reais!

Passo 3

Primeiro, faremos f ∘ g .

Vamos colocar g dentro de f !! É só substituir o x de f pela função g ( x ) :

f ∘ g = x 2 + 3 - 3

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de g que tornam g um valor dentro do domínio de f .

Bem, como g é uma função com raiz quadrada, qualquer valor que g assume será um número maior ou igual a 0 !

E, olhando o domínio de f , vemos que ele só aceita números maiores ou iguais a 0 ! Logo, um número maior ou igual a 0 (que g poderia assumir) está dentro desse intervalo de f né? Sem problemas! Dessa forma, o domínio da composição será o próprio domínio de g , pois todos os valores que g assume estão no domínio de f :

( - ∞ , + ∞ )

Passo 4

Agora, faremos g ∘ f .

Vamos colocar f dentro de g !! É só substituir o x de g pela função f ( x ) :

g ∘ f = x - 3 2 + 3

Podemos tirar a primeira raiz:

g ∘ f = x - 3 + 3

g ∘ f = x

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de f que tornam f um valor dentro do domínio de g .

Já vimos que o domínio de f consiste em todos os números igual ou maiores que 3 , certo? E, como f é uma função com raiz quadrada, qualquer valor que f assume será um número maior ou igual a 0 , ok?

Agora, olhando para o domínio de g , que são todos os números reais (positivos e negativos). Logo, qualquer número maior ou igual a 3 (que f poderia assumir) está dentro desse intervalo de g né? Sem problemas!

Dessa forma, o domínio da composição será será o próprio domínio de f , pois todos os valores que f assume estão dentro do domínio de g :

[   3 , + ∞ )

Resposta

f ∘ g = x 2 + 3 - 3 ; ( - ∞ , + ∞ )

g ∘ f = x ; [   3 , + ∞ )

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