Enunciado

Determine as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f e estabeleça os domínios das compostas.

f x = x 1 + x 2

g x = 1 x

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:

f ∘ g x = f g ( x )

Dessa forma, o domínio da composição f g ( x ) consiste em todo x no domínio de g com o qual g ( x ) está no domínio de f . Como assim?

Vamos ver o domínio de g e o de f , depois, vamos ver quais os valores do domínio de g que fazem g ( x ) se encaixar no domínio de f . Vai ficar melhor na prática!

Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = x 1 + x 2

A única coisa que restringe o nosso domínio é o denominador, pois não podemos ter uma divisão por 0 . Então:

1 + x 2 ≠ 0

x 2 ≠ - 1

Bom, precisamos que um número ao quadrado seja diferente de - 1 , mas como qualquer número real ao quadrado será positivo, não precisamos nos preocupar com essa restrição! Assim, o domínio de f é:

( - ∞ , + ∞ )

Ou seja, qualquer número.

E:

g x = 1 x

A única coisa que restringe o nosso domínio é o denominador, pois não podemos ter uma divisão por 0 . Então:

x ≠ 0

Assim, o domínio de g é:

( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Ou seja, qualquer valor diferente de 0 .

Passo 3

Primeiro, faremos f ∘ g .

Vamos colocar g dentro de f !! É só substituir o x de f pela função g ( x ) :

f ∘ g = 1 x 1 + 1 x 2

f ∘ g = 1 x 1 + 1 x 2

Vamos fazer o mmc embaixo:

f ∘ g = 1 x x 2 + 1 x 2

Arrumando essa divisão:

f ∘ g = 1 x ∙ x 2 x 2 + 1

Podemos simplificar x 2 com o x :

f ∘ g = 1 1 ∙ x x 2 + 1

f ∘ g = x x 2 + 1

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de g que tornam g um valor dentro do domínio de f .

Como f admite qualquer valor para x , também admite qualquer valor que g possa assumir. Então, a única restrição que vamos ter é a de g . Assim, o domínio da composição será o domínio de g :

D o m í n i o = { x ∈ R   /   x ≠ 0 }  

Lê-se: x pertencente ( ) aos reais ( R ) tal que (/) x é diferente de 0. Show??

Passo 4

Agora, faremos g ∘ f .

Vamos colocar f dentro de g !! É só substituir o x de g pela função f ( x ) :

g ∘ f = 1 x 1 + x 2

Arrumando essa divisão:

g ∘ f = 1 ∙ 1 + x 2 x

g ∘ f = 1 + x 2 x

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de f que tornam f um valor dentro do domínio de g .

O único valor que g não admite em seu domínio é x = 0 , certo? Então, temos que excluir os valores do domínio de f que o tornam 0 , ou seja:

f x ≠ 0

x 1 + x 2 ≠ 0

x ≠ 0

Então, x = 0 é um valor que torna f um valor que não pertence ao domínio de g . Mas isso já estava presente na restrição de g . Além disso, como f não possui restrições, essa será nossa única restrição mesmo!! Assim, o domínio da composição será qualquer valor diferente de 0 :

D o m í n i o = { x ∈ R   /   x ≠ 0 }  

Lê-se: x pertencente ( ) aos reais ( R ) tal que (/) x é diferente de 0.

Resposta

f ∘ g = x x 2 + 1 ; x ≠ 0

g ∘ f = 1 + x 2 x ; x ≠ 0

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