Enunciado

Determine o intervalo maior (ou união de intervalos) em que a função é contínua

f x = 2   s e   x < - 2 4 - x 2   s e - 2 ≤ x ≤ 2 - 2   s e   x > 2

Passo 1

Repare que todas as funções das sentenças, quando vistas sozinhas, são funções contínuas. Então, quando juntamos as 3, queremos descobrir se no encontro entre um gráfico e outro a função é contínua. Assim, precisamos verificar nos saltos de uma sentença para outra.

Passo 2

Para verificar se a função é contínua em x = - 2 , temos que fazer os limites e ver se são iguais.

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = l i m x → - 2 - 2 = 2

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = l i m x → - 2 + 4 - x 2 = 0

Como os limites laterais são diferentes, a função não é contínua em x = - 2

Passo 3

Para verificar se a função é contínua em x = 2 , temos que fazer os limites laterais novamente, mas agora para 2.

lim x → 2 - ⁡ f x = l i m x → 2 - 4 - x 2 = 0

l i m x → 2 + f x = l i m x → 2 + - 2 =   - 2

Como os limites laterais são diferentes, também é descontínua.

Passo 4

Agora que já vimos que f tem descontinuidade em -2 e 2, como são os únicos saltos de sentenças, são os únicos pontos de descontinuidade.

Logo, nosso maior intervalo de continuidade é I = - ∞ , - 2 ∪ [ - 2,2 ] ∪ ( 2 , + ∞ )

Resposta

I = - ∞ , - 2 ∪ [ - 2,2 ] ∪ ( 2 , + ∞ )

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