Enunciado

  1. Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescente
  2. Identifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem

g x = x 8 - x 2

Passo 1

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada d g para encontrar os pontos críticos

g ' x =   8 - x 2 + x . 1 2 .   ( 8 - x 2 ) - 1 2

g ' x =   2 ( 2 - x ) ( 2 + x ) ( 2 2 - x ) ( 2 2 + x )

Igualamos a zero

2 ( 2 - x ) ( 2 + x ) ( 2 2 - x ) ( 2 2 + x ) = 0

x = ± 2 ; x = ± 2 2

Pontos críticos: ± 2 ;   ± 2

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

g   é crescente nos intervalos ( - 2,2 )

g é decrescente nos intervalos - 2 2 , - 2 ⋃   ( 2,2 2 )

Passo 3

Assim, temos que os valores de mínimo locais são: de g - 2 = - 4 no ponto x = - 2 e g 2 2 = 0 no ponto x = 2 2 . Os valores máximo locais são: em g 2 = 4 , no ponto x = 2 e g - 2 2 = 0   em x = - 2 2   .  

O máximo absoluto no ponto 4 quando   x = 2 e mínimo absoluto no ponto - 4 quando x = - 2

Resposta

  1. g   é crescente nos intervalos ( - 2,2 ) ; g é decrescente nos intervalos - 2 2 , - 2 ⋃   ( 2,2 2 )
  2. Mínimo locais são: de g - 2 = - 4 no ponto x = - 2 e g 2 2 = 0 no ponto x = 2 2 .

Máximo locais são: em g 2 = 4 , no ponto x = 2 e g - 2 2 = 0   em x = - 2 2   .  

Máximo absoluto no ponto 4 quando   x = 2

Mínimo absoluto no ponto - 4 quando x = - 2

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Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 2 - 1 3 x , x ≥ - 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = s e nx, 0 ≤ xπ 2
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 x ,1x3
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = 1 x , x ≥ 1
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f . (Use os gráficos e as transformações das Seções 1.2 e 1.3.) f x = s e nx, - π 2 ≤ x ≤