Enunciado

  1. Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescente
  2. Identifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem

h x = x 1 3 ( x 2 - 4 )

Passo 1

h x = x 1 3 x 2 - 4 = x 7 3 - 4 x 1 3

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de h   para encontrar os pontos críticos

h ' x = 7 3 x 4 3 -   4 3 x - 2 3

h ' x =   ( 7 x + 2 ) ( 7 x - 2 ) 3 x 2 3

Igualamos a zero

( 7 x + 2 ) ( 7 x - 2 ) 3 x 2 3 = 0

( 7 x + 2 ) ( 7 x - 2 ) = 0

x = ± 2 7 7

No denominador, a função não está definida quando o denominador é igual a zero. Mas o denominador igualado a zero também é um ponto crítico:

3 x 2 3 = 0

x = 0

Pontos críticos: 0 ,   ± 2 7 7

Passo 2

Agora, vamos fazer o estudo do sinal para verificar onde a função cresce e decresce. Beleza?

Logo,

h   é crescente nos intervalos - ∞ , - 2 7 7 ⋃ 2 7 7 , ∞

h é decrescente nos intervalos - 2 7 7 , 0 ⋃ 0 , 2 7 7

Passo 3

Assim, o valor de máximo local é em h - 2 7 7 =   24 2 3 7 7 6 quando x= -   2 7 7

O valor de mínimo local é: de h 2 7 7 = -   24 2 3 7 7 6     no pontos x = 2 7 7 .

Não temos máximos absolutos.

Resposta

  1. h   é crescente nos intervalos - ∞ , - 2 7 7 ⋃ 2 7 7 , ∞ ; h é decrescente nos intervalos - 2 7 7 , 0 ⋃ 0 , 2 7 7
  2. Máximo local é em h - 2 7 7 =   24 2 3 7 7 6 quando x= -   2 7 7

Mínimo local é: de h 2 7 7 = -   24 2 3 7 7 6     no pontos x = 2 7 7 .

Não há máximos absolutos.

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