Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função

f x = x x 2 + 100

Passo 1

Oláááá!

Nessa questão, queremos a janela apropriada e o gráfico da seguinte função:

f x = x x 2 + 100

Mas antes de qualquer coisa, você sabe o que é janela apropriada?

Bom, o gráfico vai pegar um intervalo da função, pois não podemos fazer um desenho de - ∞ a + ∞ . Então temos que escolher de onde até onde vamos mostrar. E a janela apropriada é o intervalo que mostre os pontos importantes da função (máximos, mínimos, raízes, assíntotas e etc). Em outras palavras, a gente tem que ser capaz de de fato entender o comportamento dessa função. Mas sem ser grande demais também!

Então vamos começar calculando o domínio da função, as raízes e outros pontos que precisam aparecer na nossa janela!

Passo 2

O domínio são os valores que x pode assumir. E se a gente olhar pra essa função, a única restrição é aquele denominador que não pode ser nulo, então:

x 2 + 100 ≠ 0

x 2 ≠ - 100

Mas isso já não vai acontecer nunca porque um número ao quadrado é sempre positivo. Então o domínio são todos os reais.

Pra achar as raízes, igualamos a função a zero:

x x 2 + 100 = 0

Mas como o denominador não pode ser zero, é o numerador que vamos anular. Então temos uma raiz em:

x = 0

E esse ponto é importante, então tem que estar contido na janela pra ela ser adequada!

Passo 3

Uma coisa interessante de a gente reparar é que essa função vai ser sempre menor que 1, porque

x 2 + 100 > x

É verdade pra qualquer valor de x . Então a nossa janela não precisa ser maior do que isso na vertical, ela pode ir apenas de [ - 1   , + 1 ] ou até menos.

E se a gente fizer a seguinte continha pra f - x :

f - x = - x - x 2 + 100 = - x x 2 + 100 = - f ( x )

percebemos também que f x = - f ( x ) , ou seja, a nossa função é ímpar. Sendo assim, ela vai ser simétrica em relação a origem e devemos pegar para x um intervalo simétrico

Passo 4

Então vamos tentar pegar uma janela simétrica, que cubra a origem e que não seja muito grande verticalmente:

Hmmm, seria interessante a gente ver melhor como é essa função em valores maiores que 10 e menores que -10, muita coisa pode acontecer pra um lado e pro outro. Vamos tentar!

Opa! Agora ficou bom. Conseguimos ver pontos de máximo e mínimo e que ela vai tendendo pra zero conforme x cresce ou decresce muito.

Uma janela apropriada é: - 50,50   p o r   [ - 0.1,0.1 ]

Resposta

- 50,50   p o r   [ - 0.1,0.1 ]

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