Enunciado

Determine se underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) existe nos seguintes casos:

(c) f (x , y) = (x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) , (x_0 , y_0) = (0 , 0)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo (x , y) tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f (x , y) de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto (0 , 0) no nosso limite, teremos:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) = (0)/(0)

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer uso o Teorema do Sanduíche, no qual a ideia é usar duas funções sendo uma menor e outra maior do que a função dada. Matematicamente, se temos uma função f (x , y) , tal que:

g (x , y) <= f (x , y) <= h (x , y)

E:

underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) g (x , y) = underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) h (x , y) = L

Então:

underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) = L

É parecido com a ideia de limites laterais, não é mesmo?

Ainda, vamos usar também o Teorema do Anulamento que diz que se:

underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) = 0

E g (x , y) é uma função limitada, então:

underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) * g (x , y) = 0

Passo 3

Como a nossa função dada pode ser escrita como:

(x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) = ((x)/(sqrt(x^2 + y^2))) y = ((y)/(sqrt(x^2 + y^2))) x

E sabendo que:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) x = underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) y = 0

Ela possui uma forma parecida com a necessária para o Teorema do Anulamento proceder, o que é um sinal de que o limite existe. Pra confirmar, vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Então, vamos utilizar outras duas funções em que uma seja menor e outra seja maior que a função de interesse. Logo, vamos escrever primeiro:

sqrt(x^2) <= sqrt(x^2 + y^2)

Ou ainda:

|x| <= sqrt(x^2 + y^2)

Queremos que a função da direita tenha a mesma forma que a f (x , y) dada. Então se passarmos ambos os termos para o denominador, a inequação fica como:

(1)/(sqrt(x^2 + y^2)) <= (1)/(|x|)

E multiplicando por x y :

(x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) <= (x y)/(|x|)

O termo esquerda é maior que zero e o da direita sempre vai ser menor do que y . Então, podemos reescrever a inequação como:

0 <= (x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) <= y

E assim chegamos na inequação desejada.

Passo 5

Como temos que os limites dos extremos resultam em:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) 0 = 0

E:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) y = 0

Podemos concluir que:

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) = 0

E, portanto, ele existe.

Resposta

underset((x , y) -> (0 , 0))(lim) (x y)/(sqrt(x^2 + y^2)) = 0

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