Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Nesse aqui se a gente substituir os valores vai dar indeterminado. Não dá pra fatorar também. Então a gente vai fazer aquele esquema de testar o limite seguindo a função por dois caminhos diferentes...

Vamos fazer ao longo do eixo x :

f x , 0,0 = 0 x 2 = 0  

O limite aqui então é zero. Vamos fazer agora ao longo da reta y = x e z = 0 . A função nesse ponto é:

f x , x , 0 = x 2 2 x 2   = 1 2

Passo 2

Vamos fazer agora ao longo da reta y = x e z = 0 . A função nesse ponto é:

f x , x , 0 = x 2 2 x 2   = 1 2

Tivemos dois limites diferentes quando percorremos a função por caminhos diferentes, então o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Mostrar que os limites não existem:a) lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2
Mostrar que os limites não existem:e) lim x → 0 y → 0 ⁡ 3 x y 4 x 2 + 5 y 2
Verificar se os seguintes limites existem:b) lim x → 0 y → 0 ⁡ - x 2 y 2 x 2 + 2 y 2
Mostrar que os limites não existem:h) lim x → 0 y → 0 ⁡ y 4 + 3 x 2 y 2 + 2 y x 3 y 2 + x 2 2
Mostrar que os limites não existem:b) lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 x x 2 + y 2