Enunciado

Verificar se os seguintes limites existem:

e) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)

Passo 1

Vamos supor que o limite existe e é zero. Assim, para mostrar isso podemos usar a definição de limite:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2) - 0| < epsilon sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Passo 2

Podemos reorganizar |(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2) - 0| da seguinte forma:

|(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2) - 0| = (|x^3 - y^3|)/((x^2 + y^2)) = (|x^3| + |y^3|)/((x^2 + y^2)) = (x^2 |x| + y^2 |y|)/((x^2 + y^2))

E também podemos dizer que:

x^2 <= x^2 + y^2

e

y^2 <= x^2 + y^2

e

|x| <= sqrt(x^2 + y^2)

e

|y| <= sqrt(x^2 + y^2)

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

|(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)| <= ((x^2 + y^2) * sqrt(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) * sqrt(x^2 + y^2))/((x^2 + y^2))

Simplificando os termos, nós temos:

|(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)| <= (2 (x^2 + y^2) * sqrt(x^2 + y^2))/((x^2 + y^2))

|(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)| <= 2 sqrt(x^2 + y^2)

Como 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta , podemos dizer que:

|(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)| <= 2 delta

Passo 4

Assim, se tomarmos delta = (epsilon)/(2) podemos dizer que:

|(x^3 - y^3)/(x^2 + y^2)| <= epsilon

Sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Com isso provamos que o limite existe e é igual a zero.

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (x^3 - y^3)/(x^2 + y^2) = 0

Resposta

O limite existe.

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