Enunciado

Determine o limite underset(x -> 0)(lim) (- 1)/(x^2 (x + 1))

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (x) = (- 1)/(x^2 (x + 1)) quando nos aproximamos de zero pela direita, ou seja por valores positivos.

Como estamos numa divisão, podemos usar a regra do quociente: “O limite do quociente é o quociente dos limites”, então:

underset(x -> 0)(lim) (- 1)/(x^2 (x + 1)) = (underset(x -> 0)(l i m) - 1)/(underset(x -> 0)(l i m) x^2 (x + 1))

Passo 2

Precisamos lembrar de duas coisinhas para concluir nossa questão:

1ª coisa: Como 4 não depende de x ,

underset(x -> 0)(l i m) - 1 = - 1

2ª coisa:

underset(x -> 0)(l i m) x^2 (x + 1) = 0

Passo 3

Se fossemos substituir no limite os valores vistos no passo anterior, ficaríamos com uma divisão por zero, que a gente sabe que não é legal escrever.

Sabemos também que a divisão por zero leva a nossa função a ir pra infinito, só falta saber se pra + oo ou para - oo . Então vamos analisar,

Como o numerador do quociente é - 1 < 0 e x -> 0^+ , o que significa dizer que me aproximo de sete por valores de x > 0 , então nosso quociente ficaria assim ó:

(n e g a t i v o)/(p o s i t i v o) = n e g a t i v o

Isso significa dizer que nosso resultado tende a infinito para valores positivos.

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (- 1)/(x^2 (x + 1)) = - oo

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