Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x , y | 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b ; ρ x , y = 1 + x 2 + y 2

Passo 1

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a massa e o centro de massa. Para calcularmos a massa, basta resolvermos a seguinte integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

Já o cálculo das coordenadas do centro de massa é dado por:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m

y - = ∬ D y ρ x , y d A m

Passo 2

Vamos começar calculando a massa do nosso retângulo. Portanto, temos

m = ∫ 0 a ∫ 0 b ( 1 + x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ 0 a y + x 2 y + y 3 3 0 b d x

∫ 0 a y + x 2 y + y 3 3 0 b d x = ∫ 0 a b + b x 2 + b 3 3 d x

x b + b x 3 3 + b 3 x 3 0 a = a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x , temos:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m = ∫ 0 a ∫ 0 b ( x + x 3 + x y 2 ) d y d x m

x - = ∫ 0 a x b + x 3 b + x b 3 3 d x m = x 2 b 2 + x 4 b 4 + x 2 b 3 6 0 a m = a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 m

x - = a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Já para a coordenada y , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m = ∫ 0 a ∫ 0 b ( y + y x 2 + y 3 ) d y d x m

y - = ∫ 0 a b 2 2 + x 2 b 2 2 + b 4 4 d x m = x b 2 2 + x 3 b 2 6 + x b 4 4 0 a m = a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 m

y - = a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto:

a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 a b + a 3 b 3 + a b 3 3 , a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Resposta

Massa:

m = a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Centro de massa:

a 2 b 2 + a 4 b 4 + a 2 b 3 6 a b + a 3 b 3 + a b 3 3 , a b 2 2 + a 3 b 2 6 + a b 4 4 a b + a 3 b 3 + a b 3 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar o valor da integral.A p
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano z = 1 .
Se você tentar utilizar a Fórmula 2 para determinar a área do topo superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , terá problemas, porque a integral dupla é impropria. De fato, o integrando tem uma descont
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2+ y 2+ z 2= 4 z que está dentro do parabolóide z =x 2 + y 2 .
Determine a área da superfície.A parte da esfera x 2+ y 2+ z 2= a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x e acima do plano x y .