Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 11
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Passo 1
Pela equação do capítulo, temos que
Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como
Onde são as coordenadas do novo sistema.
Passo 2
A equação da esfera pode ser reescrita como
Assim temos que
e
Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever
O Domínio é definido dentro do cilindro e acima do plano , ou seja
Outra analise é olhar para nosso cilindro limitador.
Ou seja, temos um cilindro deslocado na direção com centro em e . Desta forma temos que varia somente na parte positiva de , ou seja,
Onde o jacobiano em coordenadas cilíndricas é .
Fazendo
Logo temos
Usando o fato de ser uma função par, podemos a partir do teorema fundamental do calculo usar a simetria do problema e
Resposta
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