Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2   + y 2   + z 2   = a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x e acima do plano x y .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

A equação da esfera pode ser reescrita como

z = a 2 - x 2 - y 2

Assim temos que

∂ z ∂ x = - x a 2 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y a 2 - x 2 - y 2

Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 a 2 - x 2 - y 2 + y 2 a 2 - x 2 - y 2 = a 2 a 2 -   r 2

O Domínio é definido dentro do cilindro e acima do plano z = 0 , ou seja

x 2 + y 2 = a x → r 2 = a   r cos ⁡ θ → r = a cos ⁡ θ

Outra analise é olhar para nosso cilindro limitador.

x 2 + y 2 = a x → x 2 - a x - a 2 + a 2 + y 2 = 0 → x - a 2 + y 2 = a 2

Ou seja, temos um cilindro deslocado na direção x com centro em x = a e r = a . Desta forma temos que θ varia somente na parte positiva de x , ou seja, - π 2 ≤ θ ≤ π 2

A S = ∫ - p i 2 π 2 ∫ 0 a cos ⁡ θ a r a 2 - r 2 d r   d θ

Onde o jacobiano em coordenadas cilíndricas é r .

Fazendo u = a 2 - r 2 → d u 2 = r   d r

Logo temos

A S = ∫ - p i 2 p i 2 - a a 2 - r 2 0 a cos ⁡ θ d θ

Usando o fato de 1 - cos 2 ⁡ θ ser uma função par, podemos a partir do teorema fundamental do calculo usar a simetria do problema e

= 2 a 2 ∫ 0 p i 2 1 - ( 1 - cos 2 ⁡ θ d θ = 2 a 2 ∫ 0 p i 2 d θ - ∫ 0 p i 2 s e n   θ   d θ   = a 2 π - 2  

Resposta

A S = a 2 π - 2  

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