Enunciado

A figura mostra a superfície criada quando o cilindro y 2 + z 2 = 1 intercepta o cilindro x 2 + z 2 = 1 . Determine área dessa superfície

Passo 1

Faala, pessoal!

Vamos entender essa questão.

Ela pede pra gente achar a área de uma superfície. Pra isso, a gente pode usar a fórmula da área de uma superfície z = f x , y em um domínio D :

A S = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d A

Mas nesse caso, vamos usar uma fórmula equivalente, para superfície y = f ( x , z ) :

A S = ∬ D 1 + f x 2 + f z 2 d A

Antes de ir pras contas, vamos olhar pra superfície. Percebe que ela tem duas partes: uma laranja, e uma azul.

A parte laranja é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 dentro do cilindro x 2 + z 2 = 1 .

Já a parte azul é o contrário: é a parte do cilindro x 2 + z 2 = 1 dentro do y 2 + z 2 = 1 .

Só que como ele são cilindros iguais, só muda o eixo que eles estão, essa figura vai ser simétrica! E a área de parte laranja é igual da parte azul!

Ou seja, pra gente encontrar a área, vamos calcular a da parte laranja e multiplicar por 2 .

A S = 2 ∙ A l a r a n j a

Pra achar essa área laranja, vamos começar definindo quem é f , pra achar as derivadas parciais. Daí, jogamos na integral, e usamos o domínio D pra achar uma integral iterada. Por fim, vamos calcular a integral!

Passo 2

Vamos começar olhando pra área laranja, que é a que vamos calcular:

Ela é definida por

y 2 + z 2 = 1

y 2 = 1 - z 2

Tirando a raiz dos dois lados:

y = ± 1 - z 2

Percebe que a superfície tem duas partes iguais: uma positiva ( y ≤ 0 ), e parte negativa ( y ≥ 0 ). Vamos usar daqui pra frente só a parte positiva, e multiplicar por 2 o resultado:

y = f x , z = 1 - z 2

A l a r a n j a = 2 ∙ ∬ D 1 + f x 2 + f z 2 d A

Então, vamos calcular as derivadas parciais.

Primeiro em função de x , mantendo z constante:

f x = ∂ 1 - z 2 ∂ x = 0

Agora em função de z , vamos ter que usar a regra da cadeia:

f z = ∂ 1 - z 2 ∂ z = ∂ 1 - z 2 ∂ 1 - z 2 ∙ ∂ 1 - z 2 ∂ z =

Como a derivada de x é 1 2 x ,

= 1 2 1 - z 2 ∙ - 2 z

⇒ f z = - z 1 - z 2

Colocando na fórmula:

A l a r a n j a = 2 ∙ ∬ D 1 + f x 2 + f z 2 d A

A l a r a n j a = 2 ∙ ∬ D 1 + 0 2 + - z 1 - z 2 2 d A

Abrindo o quadrado, podemos cancelar a raiz com o quadrado:

= 2 ∙ ∬ D 1 + z 2 1 - z 2 d A

Vamos colocar transformar esse termo dentro da raiz em uma fração única:

= 2 ∙ ∬ D 1 - z 2 + z 2 1 - z 2 d A

= 2 ∙ ∬ D 1 1 - z 2 d A

Então:

A l a r a n j a = 2 ∙ ∬ D 1 1 - z 2 d A

Passo 3

Agora vamos olhar para o domínio dessa superfície. Como estamos dentro do cilindro x 2 + z 2 = 1 , nosso domínio é definido por:

x 2 + z 2 ≤ 1

Ele fica assim:

O domínio é limitado pela equação x 2 + z 2 = 1 , que podemos reescrever como:

x 2 = 1 - z 2

x = 1 - z 2 x = - 1 - z 2

A expressão positiva representa a parte da direita da circunferência ( x ≥ 0 ), e negativa é a parte da esquerda:

Então temos que z está entre - 1 e 1 , e x entre as duas expressões:

- 1 ≤ z ≤ 1

- 1 - z 2 ≤ x ≤ 1 - z 2

Assim, conseguimos montar a integral iterada. Lembrando que como os limites de x dependem de z , integramos em função de x primeiro:

A l a r a n j a = 2 ∙ ∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 1 1 - z 2 d x d z

Passo 4

Pra integrar isso, fazemos de fora pra dentro. Primeiro em função de x , considerando z constante:

A l a r a n j a = 2 ∙ ∫ - 1 1 ∫ - 1 - z 2 1 - z 2 1 1 - z 2 d x d z =

Como o integrando só depende de z , ele é constante em função de x , e a integral fica:

= 2 ∙ ∫ - 1 1 x 1 - z 2 - 1 - z 2 1 - z 2 d z =

= 2 ∙ ∫ - 1 1 1 - z 2 1 - z 2 - - 1 - z 2 1 - z 2 d z =

Então:

= 2 ∙ ∫ - 1 1 1 - z 2 1 - z 2 + 1 - z 2 1 - z 2 d z =

= 2 ∙ ∫ - 1 1 2 ∙ 1 - z 2 1 - z 2 d z =

Podemos colocar o 2 pra fora da integral:

= 4 ∙ ∫ - 1 1 1 - z 2 1 - z 2 d z

Passo 5

Aqui a gente precisa tomar um cuidado!

A l a r a n j a = 4 ∙ ∫ - 1 1 1 - z 2 1 - z 2 d z

Você pode pensar em simplificar 1 - z 2 1 - z 2 = 1 , mas não podemos fazer isso!

Nos extremos do intervalo de integração ( 1 e - 1 ), esse termo 1 - z 2 vale 0 , então teríamos uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Ou seja, isso é uma integral imprópria!

Pra resolver, temos que fazer o seguinte:

= 4 ∙ lim t → 1 - ⁡ ∫ - t t 1 - z 2 1 - z 2 d z

Agora podemos simplificar sem problema, porque no intervalo - t , t , o termo 1 - z 2 não vale 0 :

= 4 ∙ lim t → 1 - ⁡ ∫ - t t 1 d z

= 4 ∙ lim t → 1 - ⁡ z - t t

Resolvendo nos limites:

= 4 ∙ lim t → 1 - ⁡ t - - t =

= 4 ∙ lim t → 1 - ⁡ 2 t =

Resolvendo o limite:

A l a r a n j a = 4 ∙ 2 = 8

Relembrando, nós queremos a área da superfície S :

A S = 2 ∙ A l a r a n j a

⇒ A S = 16

Resposta

A S = 16

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