Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x pertence a D_g , sendo g dada por

g(x) = x^2 - 4x + 3, x >= 2

Passo 1

Se temos que

g x = x 2 - 4 x + 3

Então:

g f ( x ) = f x 2 - 4 f x + 3

Para termos g f x = x então:

f x 2 - 4 f x + 3 = x

Passo 2

Agora, temos que isolar o f x , e para isso, podemos completar quadrados:

Quando temos o quadrado de uma diferença, temos os seguintes produtos notáveis:

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Nesse caso, temos f x 2 - 4 f x , então

a 2 = f x 2 ⇒ a = f x

- 2 a b = - 4 f x ⇒ - 2 f x b = - 4 f x

2 b = 4

b = 2

Então:

f x - 2 2 = f x 2 - 4 f x + 4

Mas como queremos apenas f x 2 - 4 f x , vamos isolar esse termo:

f x 2 - 4 f x = f x - 2 2 - 4

Logo

f x 2 - 4 f x + 3 = x

f x - 2 2 - 4 + 3 = x

f x - 2 2 - 1 = x

f x - 2 2 = x + 1

Como x ≥ 2 , ou seja, x + 1 ≥ 0 podemos tirar a raiz quadrada dos dois lados:

f x - 2 = x + 1

f x = x + 1 + 2

Resposta

f x = x + 1 + 2

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