Enunciado

Determine o “maior” conjunto A tal que I m f ⊂ D g ; em seguida, construa a composta h x = g f x

g x = x - 1   e f : A → R , f x = 2 x + 1 x - 3

Passo 1

Primeiramente devemos estabelecer o domínio de g e a partir dessa restrição achar a imagem de f .

Repara que g ( x ) é uma raiz quadrada,

g x = x - 1

Se temos uma raiz quadrada, então não podemos ter números negativos dentro dela, logo:

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

Isso significa que o domínio de g é dado por:

D g = 1 , + ∞

Passo 2

Então, a imagem de f deve estar contida nesse intervalo.

f x ≥ 1

Substituindo,

2 x + 1 x - 3 ≥ 1

2 x + 1 x - 3 - 1 ≥ 0

Fazendo o m.m.c.

2 x + 1 - x - 3 x - 3 ≥ 0

Logo,

x + 4 x - 3 ≥ 0

Fazendo o estudo de sinal:

Então, temos que x + 4 x - 3 ≥ 0 para x ≤ - 4 ou x ≥ 3 .

Mas, no entanto, f apresenta uma razão de duas funções, então seu denominador deve ser diferente de zero, ou seja,   x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 .

Desse modo, o conjunto A que é o domínio de f é dado por:

A = - ∞ , - 4 ⋃ 3 , + ∞

Passo 3

A composta h x é dada por:

h x = g f x

Substituindo a expressão para g x

h x = f x - 1

Agora vamos substituir f x

h x = 2 x + 1 x - 3 - 1

Ajeitando,

h x = x + 4 x - 3

Resposta

A = - ∞ , - 4 ⋃ 3 , + ∞ e   h x = x + 4 x - 3

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