Determine alpha de modo que y = e^(alpha \* x) verifique a equação (d^2y)/(dx^2) - 4y = 0 .

Passo 1

Derivamos y em relação a x utilizando a regra da cadeia, considerando α como uma constante:

d y d x = e α x '

d y d x = e α x α x '

d y d x = e α x α

d y d x = α e α x

Passo 2

Agora derivamos novamente, para determinar a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = α e α x '

Mais uma vez, usamos a regra da cadeia:

d 2 y d x 2 = α e α x α x '

d 2 y d x 2 = α e α x α

d 2 y d x 2 = α 2 e α x

Passo 3

Só nos resta substituir y e sua derivada de 2 ª ordem na equação do enunciado, a fim de achar quais valores de α a satisfazem:

d 2 y d x 2 - 4 y = 0

α 2 e α x - 4 e α x = 0

e α x α 2 - 4 = 0

Como a exponencial e α x é sempre diferente de zero, então:

α 2 - 4 = 0

α = ± 2

Resposta

α = ± 2

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