Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

9-

F x , y = y e x + s e n   y i + ( e x + x cos ⁡ y ) j

Passo 1

Vamos verificar a conservação desse campo vendo se há igualdade na afirmação abaixo.

∂ y e x + s e n   y ∂ y = ∂ e x + x cos ⁡ y ∂ x

e x + cos ⁡ y = e x + cos ⁡ y

Como há igualdade então o campo é sim conservativo.

Passo 2

Isso nos diz que há um função potencial F cuja derivada em x vale f x = y e x + s e n   y e cuja derivada em y vale f y = e x + x cos ⁡ y dessa forma integrando em x a função f x nós teremos:

F = y e x + x s e n   y + g ( y )

Onde g ( y ) é uma função em relação somente a y cuja derivada em x não o detecta. Agora vamos derivar essa função em y .

f y = e x + x cos ⁡ y + g y ( y )

Comparando as duas funções f y vemos que g y y = 0 , logo integrando g y ( y ) em y vemos que g y = K , o que nos dá uma função potencial igual a:

F = y e x + x s e n   y + K

Resposta

Campo conservativo.

Função potencial:

F = y e x + x s e n   y + K

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