Enunciado

31- Determine o valor de ∫ ∫ S x 2 y 2 z 2   d S   correto até a quarta casa decimal, onde S é a parte do parabolóide z = 3 - 2 x 2 - y 2 que está acima do plano x y .

Passo 1

Para estar acima do plano x y então z > 0 , e isso nos dá:

3 - 2 x 2 - y 2 > 0

y 2 < 3 - 2 x 2

Isso nos dá um intervalo igual a:

- 3 - 2 x 2 ≤ y ≤ 3 - 2 x 2

E se zerarmos y :

- 3 2 ≤ x ≤ 3 2

Além de que:

d S = d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d x d y

d S = - 4 x 2 + - 2 y 2 + 1   d x d y

d S = 16 x 2 + 4 y 2 + 1

Passo 2

Então a integral de superfície será:

∫ - 3 2 3 2 ∫ - 3 - 2 x 2 3 - 2 x 2 x 2 y 2 3 - 2 x 2 - y 2 2 16 x 2 + 4 y 2 + 1   d y   d x  

Utilizando o Desmos temos a seguinte resposta:

Com 4 casas decimais temos:

3.4895

Resposta

3.4895

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Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através deS . Para superfícies fechadas, use a ori
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Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial F → e superfície orientada S . F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^ , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 25 , y ≥ 0 , orient