Determine as quatro raízes reais da função f(x) = 2x^4 - 4x^2 + 1 .

Passo 1

Queremos descobrir os valores de x para os quais f x = 0 , para isso utilizaremos o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

E, assim, obtemos aproximações cada vez melhores conforme vamos aumentando o valor de n , ou seja, conforme aumentamos o número de iterações feitas.

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar nossa f ( x ) para substituirmos na fórmula do método ode Newton. Assim, sendo

f ' x = 8 x 3 - 8 x

Teremos

x n + 1 = x n - 2 x n 4   -   4 x n 2   +   1 8 x n 3 - 8 x n

Pelo fato da função ser par, podemos encontrar duas aproximações e coloca-las com ± .

Passo 3

Tomando, então, x 0 = - 2   e   x 0 = - 0.5 substituindo na fórmula acima vamos obter

x 0 =   - 2 →   x 6 = - 1.30656296

x 0 = - 0.5 →   x 3 = - 0.5411961

Pelo fato da função ser par, ela é simétrica em relação ao eixo x , sendo assim, se achamos 2 raízes do lado esquerdo do nosso plano cartesiano as outras raízes estarão espelhadas no lado direito no mesmo plano. Logo, nossas 4 raízes ficam sendo

± 1.30656296   e ± 0.5411961    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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