Enunciado

Determine as quatro raízes reais da função f ( x ) = 2 x^4 - 4 x^2 + 1 .

Passo 1

Queremos descobrir os valores de x para os quais f (x) = 0 , para isso utilizaremos o método de Newton que nos diz que

x_n + 1 = x_n - (f ( x_n ))/(f ' ( x_n ))

E, assim, obtemos aproximações cada vez melhores conforme vamos aumentando o valor de n , ou seja, conforme aumentamos o número de iterações feitas.

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar nossa f ( x ) para substituirmos na fórmula do método ode Newton. Assim, sendo

f^' (x) = 8 x^3 - 8 x

Teremos

x_n + 1 = x_n - (2 x_n^4 - 4 x_n^2 + 1)/(8 x_n^3 - 8 x_n)

Pelo fato da função ser par, podemos encontrar duas aproximações e coloca-las com +- .

Passo 3

Tomando, então, x_0 = - 2 e x_0 = - 0.5 substituindo na fórmula acima vamos obter

x_0 = - 2 -> x_6 = - 1.30656296

x_0 = - 0.5 -> x_3 = - 0.5411961

Pelo fato da função ser par, ela é simétrica em relação ao eixo x , sendo assim, se achamos 2 raízes do lado esquerdo do nosso plano cartesiano as outras raízes estarão espelhadas no lado direito no mesmo plano. Logo, nossas 4 raízes ficam sendo

+- 1.30656296 e +- 0.5411961

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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