Enunciado

Determine uma representação paramétrica para a superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está acima do cone z = x 2 + y 2

Passo 1

Primeiro vamos achar o ponto de interseção:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → x 2 + y 2 + x 2 + y 2 2 = 4 → x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 4 → 2 x 2 + 2 y 2 = 4 → x 2 + y 2 = 2

Que nos dá:

z = x 2 + y 2 = 2

Vamos agora isolar o z da esfera, e vamos pegar a parte positiva, pois queremos a parte acima de z = 2 :

z = 4 - y 2 - x 2

Se deixarmos x e y serem os parâmetros, as equações paramétricas são:

x = x               y = y             z = 4 - y 2 - x 2 com x 2 + y 2 ≤ 2

Resposta

x = x               y = y             z = 4 - y 2 - x 2 com x 2 + y 2 ≤ 2

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