Determine r = r(t) sabendo que

dr/dt = 1/(1+4t^2) i + e^(-t) j + k e r(0) = k

Passo 1

Temos então r → ' , vamos integrar cada coordenada para achar r → ( t ) .

Primeiro a coordenada x

x t = ∫ 1 1 + 4 t 2 d t

Fazendo a substituição

u = 2 t ⇒ u 2 = 4 t 2 d u = 2   d t

∫ 1 1 + 4 t 2 d t = 1 2 ∫ d u 1 + u 2

= 1 2 arctg ⁡ u + C x

x t = 1 2 arctg ⁡ 2 t + C x

Agora a coordenada y

y t = ∫ e - t d t = - e - t + C y

E por fim a coordenada z

z t = ∫ d t = t + C z

Temos então o vetor

r → ( t ) = 1 2 arctg ⁡ 2 t + C x , - e - t + C y , t + C z

Passo 2

Para encontrar as constantes, usamos a condição inicial r → 0 = k → , substituindo então t = 0

r → ( t ) = C x , - 1 + C y , C z = 0,0 , 1

Podemos então encontrar as constantes

C x = 0

- 1 + C y = 0 ⇒ C y = 1

C z = 1

E o vetor que buscamos é

r → ( t ) = 1 2 arctg ⁡ 2 t , 1 - e - t , t + 1

Resposta

r → ( t ) = 1 2 arctg ⁡ 2 t , 1 - e - t , t + 1

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