Calcule

(dx/dt) = alpha \* x \* (x + 2) \* (alpha constante)

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

d x d t = α x x + 2

d x α x x + 2 = d t

Agora podemos integrar:

∫ d x α x x + 2 = ∫ d t = t + k

Passo 2

A integral vai ficar:

∫ d x α x x + 2 = t + k

Pra fazer essa integral vamos usar integração por frações parciais:

1 x x + 2 = A x + B x + 2 = A x + 2 + B x x x + 2

Vamos achar que:

2 A = 1 → A = 1 2

E:

A + B = 0 → A = - B → B = - 1 2

1 α ∫ d x x x + 2 = 1 α ∫ A x + B x + 2 d x = 1 α 1 2 ∫ 1 x d x - 1 2 ∫ 1 x + 2 d x

1 α 1 2 ln ⁡ | x | - 1 2 ln ⁡ x + 2 = 1 2 α ln ⁡ x x + 2

1 2 α ln ⁡ x x + 2 = t + k

Passo 3

Se quisermos x :

1 2 α ln ⁡ x x + 2 = t → x x + 2 = e t 2 α

x = e t 2 α   x + 2 = x e t 2 α   + 2 e t 2 α  

x - x e t 2 α   = 2 e t 2 α  

x 1 - e t 2 α   = 2 e t 2 α  

x = 2 e t 2 α   1 - e t 2 α  

x = 2 e t 2 α   1 - e t 2 α   + k

Resposta

x = 2 e t 2 α   1 - e t 2 α   + k

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