Enunciado

Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?

a n = 1 - n 2 + n

Passo 1

Galerinha, uma função f x é dita monotônica se e somente se f ' ( x ) manter o mesmo sinal para todo x . Além disso, a função pode ser crescente se f x < f ( x + 1 ) para todo x e pode ser decrescente se f x > f ( x + 1 ) para todo x .Vamos ver o nosso caso aqui.

f n = 1 - n 2 + n  

Para n = 1 , temos:

f 1 = 1 - 1 2 + 1 = 0

Para n = 2 , temos:

f 2 = 1 - 2 2 + 2 = - 1 4

Para n = 3 ,   temos:

f 3 = 1 - 3 2 + 3 = - 2 5

Nesse caso, a sequência está descrescendo conforme aumenta o valor de n . Assim, temos uma função decrescente.

Passo 2

Vamos verificar agora se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!

L = lim n → ∞ ⁡ 1 - n 2 + n

L = l i m n → ∞ 1 n - 1 2 n + 1

Aplicando o limite, temos:

L = - 1

Portanto, a sequência é limitada em - 1 !

Resposta

A sequência é limitada e decrescente.

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