Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

41.

a n = n 2 e - n

Passo 1

E aí, gente! Tudo tranquilinho?

Aqui precisamos entender se nossa série é convergente ou divergente. Para encontrarmos a convergência da sequência, precisamos aplicar o limite sobre ela com n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞ n 2 e - n

Se esse limite tender para um número L qualquer, a sequência converge, porque isso significa que ela se aproxima desse valor. Se não ela será divergente e cresce sem se aproximar de um valor específico.

Em alguns momentos, para simplificar nosso processo de cálculo do limite, vamos usar a Regra de L’Hopital:

Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x ' g x '

Vamos precisar aplicar a regra de L´Hospital para eliminarmos indeterminações. Ah, é importante lembrar que só podemos aplicar a Regra de L’Hopital quando temos dois tipos de indeterminação: 0 0   e ∞ ∞ . É bom termos isso sempre em mente para não usarmos com outros tipos de indeterminação, belê?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos reescrever a sequência da seguinte maneira:

L = l i m n → ∞ n 2 e n

Como temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , aplicamos a regra de L’Hôpital e fazemos as derivadas das sequências do numerador e do denominador. O limite do resultado é igual ao limite anterior:

L = l i m n → ∞ n 2 e n = l i m n → ∞ 2 n e n

Mas ainda assim a indeterminação continua, então a gente aplica L’Hôpital mais uma vez:

L = l i m n → ∞ 2 n e n = l i m n → ∞ 2 e n

Passo 3

Pronto! Agora ao aplicarmos o limite, a razão 2 e n tenderá para zero e então:

l i m n → ∞ 2 e n = 0

E a sequência converge para zero.

Resposta

L = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se você depositar $100 no final de cada mês em uma conta que paga juros de 3 % ao ano com capitalização mensal, o montante de juros acumulados após n meses é dado pela sequência: I n = 100 1,0025 n -
19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n
Um piscicultor possui 5000 bagres em sua lagoa. O número de bagres aumenta 8 % ao mês e o agricultor retira 300 bagres por mês. a) Mostre que a população de bagres P n depois n meses é dada recursivam
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. a n = 0,1 , 0,0 , 1,0 , 0,0 , 1 , …
Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. a n = 2 1 + 3 n n