Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = n - n + 1 n + 3

Passo 1

Heyyy! Tudo certo? Aqui seguimos com as questões onde precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo?

Uma das formas de fazermos isso é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente (se aproxima do infinito), a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Belezura?

Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ n - n + 1 n + 3

Passo 2

Antes de resolver o limite, vamos trabalhar a sequência primeiro.

a n = n - n + 1 n + 3 = n - n + 1 n + 3

Fazendo a distributiva, temos

a n = n - n 2 + 4 n + 3

Vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado:

a n = n - n 2 + 4 n + 3 ⋅ n + n 2 + 4 n + 3 n + n 2 + 4 n + 3

Mas por que fizemos isso?

Fizemos isso porque queremos facilitar a nossa vida. Assim, quando multiplicamos um número por seu conjugado, obtemos a diferença de quadrados, o que elimina a raiz quadrada presente na expressão. Sacou? Daí isso é útil porque, muitas vezes, queremos evitar raízes no denominador ao calcular limites.

Arrumando, temos

a n = n 2 - n 2 - 4 n - 3 n + n 2 + 4 n + 3

Que é o mesmo que

a n = - 4 n - 3 n + n 2 + 4 n + 3

E agora?? De novo, queremos facilitar a nossa vida! Então aqui podemos dividir por n para analisar o comportamento de uma sequência à medida que n   tende ao infinito. Costumamos fazer isso porque, ao dividir todos os termos da expressão por   n , podemos observar o comportamento relativo dos termos em relação ao termo dominante ( n no caso de uma sequência) à medida que n   cresce indefinidamente.

Aqui no nosso caso da sequência

a n = - 4 n - 3 n + n 2 + 4 n + 3

dividir todos os termos por n   nos permite observar que o termo dominante é - 4 , já que os outros termos tendem a zero à medida que n tende ao infinito. Assim, dividindo o numerador e o denominador por n :

a n = - 4 - 3 n 1 + 1 n n 2 + 4 n + 3

a n = - 4 - 3 n 1 + 1 n 2 n 2 + 4 n + 3

a n = - 4 - 3 n 1 + 1 + 4 n + 3 n 2

Passo 3

Vamos chamar de L o limite e resolvê-lo!

L = lim n → ∞ ⁡ - 4 - 3 n 1 + 1 + 4 n + 3 n 2

Aplicando o limite, temos:

  • Quando n → ∞ , - 3 n   tende a 0
  • Da mesma forma, quando n → ∞ , 4 n   e 3 n 2   tendem a 0

Portanto,

L = - 4 - 0 1 + 1 + 0 + 0

Ou seja,

L = - 4 2 = - 2

Assim, a sequência converge para - 2 !

Resposta

A série converge para - 2 !

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