Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = ln ⁡ n 2 n

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n

Passo 2

Vamos chamar de L o limite e resolvê-lo!

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n

Aplicando o limite, temos:

L = ∞ ∞

Temos aqui uma indeterminação! Vamos aplicar a regra de L’Hospital no limite para melhorar a situação.

L = l i m n → ∞ 2 ( ln ⁡ n ) 1 n 1

L = l i m n → ∞ 2 ( ln ⁡ n ) n

Resolvendo o limite, temos:

L = ∞ ∞

Mais uma vez caímos numa indeterminação. Vamos, mais uma vez, aplicar a regra de L’Hospital para resolver o limite.

L = l i m n → ∞ 2 1 n

Aplicando o limite, temos:

L = 0

A sequência converge para zero!

Resposta

A série converge para zero!

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23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.46. a n = 2 - n cos ⁡ n π
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.26. a n = n 3 n + 1
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.18. 1 ,0 ,- 1 ,0 ,1 ,0 ,- 1 ,0 …
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.52. a n = n - n + 1 . n + 3
19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se n