Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ]

Passo 2

Vamos resolver esse limite agora!

L = lim n → ∞ ⁡ [ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ]

Aqui vamos usar a regra da diferenciação de logaritmos. Podemos escrever ln ⁡ a b como ln ⁡ a - ln ⁡ b e vice-versa. Assim,

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 n

L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n + 1 n

  L = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n

Aplicando o limite, temos:

L = ln ⁡ 1 + 0 = ln ⁡ 1 = 0

Resposta

A série converge para zero!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência dada, é crescente, decrescente ou não monotônica. A sequência é limitada?57- a n = cos ⁡ n π 2
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.18- a n = n 1 + n
Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a
Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a
Liste os cinco primeiros termos da sequência.8- a 1 = 4 , a n + 1 = a n a n - 1