Enunciado

Use a Definição 2 diretamente para demonstrar que l i m n → ∞   r n = 0 quando r < 1 .

Passo 1

Galerinha, tudo certo?

Primeiro vamos entender a abordagem que seguiremos para realizar essa demonstração. Precisamos usar a Definição 2 do nosso livro:

Uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se para cada ε > 0 existir um inteiro correspondente N   tal que se

n > N então a n - L < ε

Precisamos então mostrar que para r n quando r < 1 , L = 0 e n > N .

Passo 2

Pessoal, pra demonstrar isso, temos que achar um valor de N tal que, pra cada n > N , teremos a n - L < ε .

Parece complicado, mas à medida que você vai trabalhando com isso, essa definição vai ficando mais natural. Olha só:

a n - L < ε

r n - 0 < ε

| r n | < ε

Usando as propriedades do módulo, temos que r n = r n . Dessa forma, segue que:

r n < ε

Aplicando o ln dos dois lados da inequação (podemos fazer isso, pois o ln é uma função crescente, de modo que o sentido da desigualdade é preservado):

ln ⁡ r n < ln ⁡ ε

Usando as propriedes do ln, temos que ln ⁡ r n = n ln ⁡ r . Logo,

n ln ⁡ r < ln ⁡ ε

Como r < 1 , então ln ⁡ r < 0 . Dessa forma, ao passarmos o ln ⁡ r dividindo, o sentido da desigualdade deve mudar. Logo:

n > ln ⁡ ε ln ⁡ r

Assim, podemos considerar N = ln ⁡ ε ln ⁡ r e finalizamos a demonstração.

Resposta

Afirmação demonstrada no passo a passo. l i m n → ∞   r n = 0 quando r < 1 .

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