Enunciado

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?

a n = n + 1 n

Passo 1

Beleza, galera? Vamos tentar comparar a n + 1 e a n pra descobrir se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.

A gente supõe que a n + 1 > a n , ou seja, que a sequência é crescente, e vemos se é verdade:

n + 1 + 1 n + 1 > n + 1 n

1 + 1 n + 1 > 1 n

n n + 1 + n > n + 1

n 2 + n + n > n + 1

n 2 + n - 1 > 0

Bora descobrir pra quais valores de n essa inequação é verdadeira?

Δ = 1 2 - 4   .   1   .   - 1 = 5

Raízes:

- 1 ± 5 2 ≈ 0,618       e     - 1,618

Como a concavidade da parábola é pra cima, a inequação só é falsa entre aproximadamente os valores de - 1,618 e 0,618 .

Ou seja, a inequação é sempre verdadeira para n ≥ 1 , que é o que realmente importa pra nossa sequência. Então o que tínhamos suposto é verdadeiro: a sequência é crescente!

Passo 2

Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência inferiormente é o termo a 1 , pois a sequência é crescente, então é impossível ter algum número menor do que a 1   . Pra sabermos se ela também é limitada superiormente, temos que calcular o limite:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n + 1 n = l i m n → ∞   n 1 + 1 n 2 → ∞ 1 + 0 → ∞

Desse modo, a sequência não é limitada superiormente, e portanto não é limitada, ok?

Resposta

Crescente, não limitada

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