Enunciado

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?

a n = n e - n

Passo 1

Bom, pessoal. Pra saber se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona, podemos supor que ela é decrescente, e ver se não chegamos a nenhum absurdo.

Então, começamos com a inequação a n + 1 < a n , que significaria que a sequência é decrescente:

a n + 1 < a n

n + 1 e - n + 1 < n e - n

n + 1 e - n e - 1 < n e - n

n + 1 n < e

1 + 1 n < e

Olha só! Chegamos numa inequação verdadeira, pois, do lado esquerdo, temos um número entre 1 e 2 , e estamos afirmando que ele é menor do que e ≈ 2,718 .

Então, a sequência é realmente decrescente!

Passo 2

Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência superiormente é o termo a 1 , pois a sequência é decrescente, então é impossível ter algum número maior do que a 1   . Pra sabermos se ela também é limitada inferiormente, temos que calcular o limite:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n e - n = l i m n → ∞ n e n = l i m n → ∞ 1 e n = 0

Usando L’Hôpital acima, descobrimos que a sequência é limitada inferiormente por 0 .

Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, beleza?

Resposta

Decrescente, limitada

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