Enunciado

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?

a n = n n 2 + 1

Passo 1

Beleza, pessoal? Veja que n está sendo somado ao numerador da fração de a n , mas n 2 está sendo somado ao denominador, então não dá pra saber se a fração aumenta ou diminui à medida que n cresce só olhando assim.

Vamos então tentar comparar a n + 1 e a n :

a n + 1 = n + 1 ( n + 1 ) 2 + 1 = n + 1 n 2 + 2 n + 1 + 1 = n + 1 n 2 + 2 n + 2

A gente supõe que a n + 1 > a n , ou seja, que a sequência é crescente e vemos se é verdade:

n + 1 n 2 + 2 n + 2 > n n 2 + 1

( n + 1 ) ( n 2 + 1 ) > n n 2 + 2 n + 2

n 3 + n + n 2 + 1 > n 3 + 2 n 2 + 2 n

n 2 + n - 1 < 0

Bora descobrir pra quais valores de n essa inequação é verdadeira?

Δ = 1 2 - 4   .   1   .   - 1 = 5

Raízes:

- 1 ± 5 2 ≈ 0,618       e     - 1,618

Como a concavidade da parábola é pra cima, a inequação só é verdadeira entre aproximadamente os valores de - 1,618 e 0,618 .

E sabe o que isso significa? Para n ≥ 1 , a inequação é falsa sempre, então é verdade justamente o oposto do que supomos. Ou seja, a sequência é decrescente!

Passo 2

Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência superiormente é o termo a 1 , pois a sequência é decrescente, então é impossível ter algum número maior do que a 1   . Pra sabermos se ela também é limitada inferiormente, temos que calcular o limite:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   n n 2 + 1 = l i m n → ∞   1 n 1 + 1 n 2 = 0 1 + 0 = 0

Então é limitada inferiormente por 0.

Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, certo?

Resposta

Decrescente, limitada

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