Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 77
Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
Passo 1
Beleza, pessoal? Veja que está sendo somado ao numerador da fração de , mas está sendo somado ao denominador, então não dá pra saber se a fração aumenta ou diminui à medida que cresce só olhando assim.
Vamos então tentar comparar e :
A gente supõe que , ou seja, que a sequência é crescente e vemos se é verdade:
Bora descobrir pra quais valores de essa inequação é verdadeira?
Raízes:
Como a concavidade da parábola é pra cima, a inequação só é verdadeira entre aproximadamente os valores de e .
E sabe o que isso significa? Para , a inequação é falsa sempre, então é verdade justamente o oposto do que supomos. Ou seja, a sequência é decrescente!
Passo 2
Será que a sequência é limitada? Bom, o que limita a sequência superiormente é o termo , pois a sequência é decrescente, então é impossível ter algum número maior do que . Pra sabermos se ela também é limitada inferiormente, temos que calcular o limite:
Então é limitada inferiormente por 0.
Se ela é limitada inferiormente e superiormente, podemos dizer que é limitada, certo?
Resposta
Decrescente, limitada