Enunciado

Determine se a série

1 - 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! -   1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n - 1 ! + …

é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Fala aí, pessoal! Nesta questão, temos uma série alternada, ou seja, suas parcelas variam de sinal alternadamente: ora elas são positivas ora negativas.

A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.

Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.

Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.

Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série ∑ a n for absolutamente convergente, então ela é convergente.

E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:

  1. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L < 1 , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
  2. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L > 1 ou se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = ∞ , então a série dada é divergente.
  3. Se lim n → ∞ ⁡   a n + 1 a n = L = 1 , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.

Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.

Passo 2

Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta a n + 1 a n para nós podermos usar o Teste da Razão.

A expressão do n-ésimo termo da série nos foi dado na questão:

a n =   - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 1 ) !

Nós determinamos o (n + 1)-ésimo termo substituindo n por n + 1 na expressão de an:

a n + 1 =   - 1 ( n + 1 ) - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 - 1 ) ( 2 ( n + 1 ) - 1 ) !

Ou seja,

a n + 1 = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) !

Galera, veja que o numerador de an é o produto de todos os números ímpares de 1 a 2n – 1. Da mesma forma, no termo an+1, o numerador também será o produto de todos os ímpares de 1 a 2(n + 1) – 1 = 2n + 1.

Como estamos interessados na divisão absoluta, nós não precisamos nos preocupar com o sinal dos termos acima. Assim, nós desconsideramos o fator (-1) das expressões de an e an+1

Assim, temos que:

a n + 1 a n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n + 1 2 n + 1 ! 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) ( 2 n - 1 ) !

Ou seja,

a n + 1 a n =   1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 2 n + 1 2 n + 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1

Podemos, então, simplificar o produto 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 , que aparece tanto no numerador quanto no denominador e ficamos com:

a n + 1 a n = 2 n - 1 ! 2 n + 1 ! = 2 n - 1 ! 2 n + 1 2 n 2 n - 1 ! = 1 2 n 2 n + 1

Passo 3

Determinada a razão a n + 1 a n , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que quando n se torna muito grande, a divisão 1 2 n 2 n + 1 se torna cada vez mais próxima de zero e nós concluímos que:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n 2 n + 1 = 0 < 1

E segue do Teste da Razão que a série dada é absolutamente convergente, portanto ela converge.

Resposta

A série é absolumente convergente, portanto converge.

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