Enunciado

Uma serie ∑ a n e definida pelas equações:

a 1 = 2       a n + 1 = 2 + cos ⁡ n n a n

Determine se ∑ a n converge ou diverge.

Passo 1

Vamos usar o teste da razão, como os termos são dados na forma recursiva, teremos:

a n + 1 a n =   2 + cos ⁡ n n = 2 n + cos ⁡ n n

Estudando os limites separadamente, primeiro:

lim n → + ∞ ⁡ 2 n = 0  

O segundo:

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n n = 0

Pois, a função cosseno e limitada e o limite de 1 n e 0 .

Usando que o limite da soma e igual a soma dos limites, se eles existirem, temos que lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0 .

Portanto, L = 0 . Pelo teste da razão, a serie e absolutamente convergente.

Resposta

A serie converge.

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