Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 )

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da nossa sequência, dado por:

a n = 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 )

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ∙ ( 2 n + 2 ) ] ( 3 n + 1 + 1 )

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) ∙ ( 2 n + 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ∙ ( 2 n + 2 ) ] ( 3 n + 1 + 1 ) ∙ [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 ) 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 )

Simplificando os termos em comum, obtemos:

lim n →  ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 3 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 3 n + 1 + 1 ) = lim n →  ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ∙ lim n →  ∞ ⁡ ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 1 + 1 )

Aplicando a regra de L’Hospital, temos:

lim n →  ∞ ⁡ 2 2 ∙ l i m n →   ∞ 1 3 =   1 ∙ 1 3 = 1 3

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge pelo teste da razão.

Exercícios de Livros Relacionados

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.33. ∑ n = 1 ∞ - 9 n n 1 0 n + 1
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.19. ∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.16. ∑ n = 1 ∞ n 10 - 10 n + 1
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.24. ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! 5 ∙ 8 ∙ 11 ∙⋯∙ 3 n + 2
Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.20. ∑ n = 1 ∞ 2 n ! n ! 2