Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ 2 n ! n ! 2

Passo 1

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, sempre vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = 2 n ! n ! 2

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = 2 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! 2

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! 2 2 n ! n ! 2

Note que podemos organizar essa epressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! 2 ⋅ n ! 2 ( 2 n ) ! = lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) ( n + 1 ) = lim n → ∞ ⁡ 2 + 2 n 2 + 1 n 1 + 1 n 1 + 1 n = 2 ⋅ 2 1 ⋅ 1 = 4

Passo 3

Como:

4 > 1

Então, a série ∑ n = 0 ∞ 2 n ! n ! 2

é divergente pelo teste da razão.

Resposta

Divergente.

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