Enunciado

Teste a série para convergência ou divergência.

12-

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 e 1 n n

Passo 1

Para utilizar o teste da sequência alternada nós devemos olhar diretamente para a sequência:

b n = e 1 n n

Vamos começar fazendo o limite de n tendendo a infinito.

lim n → ∞ ⁡ e 1 n n = e 0 ∞ = 0

Como deu zero, então passou no primeiro teste. Pois a série não alternará entre dois valores.

Passo 2

Agora vamos ver se ela irá decrescer fazendo a derivada dessa função no domínio de x .

Utilizando a regra do quociente temos:

d d x e 1 x x = e 1 x ' x - e 1 x x ' x 2

Continuando:

Pela regra da cadeia temos que a derivada de e 1 x será:

e 1 x = e u ' × 1 x ' = e 1 / x × - 1 x 2 = - e 1 x x 2

Logo:

d d x b x = - e 1 x x - x e 1 x x 2

Como os dois termos no numerador são negativos logo podemos dizer que para x > 0 toda a derivada primeira será negativa, o que nos dará uma função negativa para x > 0 . O que passa no teste.

Por passar nos dois testes podemos dizer que a série alternada dada no enunciado é convergente!

Resposta

Série convergente.

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