Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

9-

∑ n = 1 ∞ 1 2 n !

Passo 1

Como o capítulo nos explicou o teste da razão, vamos aplicar ela nesse caso que é mais simples pois esse teste é muito potente em muitas situações:

Teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L  

Onde:

a n = 1 2 n !

a n + 1 = 1 2 n + 1 ! = 1 2 n + 2 !

E se L menor que 1 a série será convergente, se for maior a série será divergente. Se for igual, bem temos que arranjar outro teste.

Passo 2

Fazendo então o teste temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 2 ! × 2 n !

Pois a divisão de frações é a mesma coisa que a multiplicação de uma fração pelo inverso da outra.

Abrindo esse fatorial aí no numerador e no denominador teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n × 2 n - 1 × 2 n - 2 … × 2 × 1 2 n + 2 × 2 n + 1 × 2 n … × 2 × 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = 1 ∞ = 0

Como o resultado deu um número menor que 1, e não há a dependência do sinal, logo podemos dizer que a série é absolutamente convergente. Capisce? Vamos para a próxima!

Resposta

Série absolutamente convergente.

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Determine se a serie é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.2. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n + 1
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Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.23. ∑ n = 1 ∞ 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ ⋯ ∙ ( 2 n ) n !
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.25. ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.28. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n + 1 5 n