Enunciado

Encontre a área da região sombreada:

Passo 1

A região sombreada se encontra no segundo quadrante inteiro, por isso, o intervalo em que o ângulo theta está é (pi)/(2) <= theta <= pi . A integral da área então será:

A = int_(pi // 2)^(pi) (1)/(2) r^2 d theta = int_(pi // 2)^(pi) (1)/(2) (2 + c o s theta)^2 d theta

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral indefinida e então substituir os limites no final da integração:

int (1)/(2) (2 + c o s theta)^2 d theta

Abrindo o polinômio e colocando a constante para fora:

(1)/(2) int 4 + 4 c o s theta + c o s^2 theta d theta

Pela linearidade:

(1)/(2) int 4 d theta + (1)/(2) int 4 c o s theta d theta + (1)/(2) int c o s^2 theta d theta

Usando a seguinte propriedade trigonométrica:

c o s^2 theta = (1 + c o s 2 theta)/(2)

Ficamos com:

(1)/(2) int 4 d theta + (1)/(2) int 4 c o s theta d theta + (1)/(4) int 1 + c o s 2 theta d theta

Integrando:

2 theta + 2 s e n theta + (theta)/(4) + (s e n 2 theta)/(8) + c

Tirando MMC:

(18 theta + s e n 2 theta + 16 s e n theta)/(8) + c

Passo 3

E agora substituímos os limites:

A = (18 (pi) + s e n 2 pi + 16 s e n pi)/(8) - (18 (pi // 2) + s e n ((2 pi)/(2)) + 16 s e n ((pi)/(2)))/(8)

A = (9 pi - 16)/(8)

Resposta

A = (9 pi - 16)/(8)

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