Enunciado

Trace as curvas   y = x n ,   0 ≤ x ≤ 1 , para n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 , … na mesma tela. Encontrando as áreas entre as curvas sucessivas, dê uma demonstração geométrica do fato, mostrado no Exemplo 6, de que

∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1

Passo 1

Fala aí, meus amores!

Primeira coisa que o enunciado nos perde é pra traçar os gráficos de y = x n ,   0 ≤ x ≤ 1 , para n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 … Em outras palavras, os gráficos de:

y = x

y = x 2

y = x 3

y = x 4

y = x 5

y = x 6

y = x n

Todas essas funções passam pela origem. A primeira é uma reta de inclinação 1. A segunda é uma parábola. A terceira, é uma função de terceiro grau e por aí vai. O comportamento dessas funções já é bem típico e conhecido, na literatura. Então olha como elas ficam:

Podemos ver pelo gráfico que com   0 ≤ x ≤ 1 , a medida que n aumenta, a curva fica abaixo da anterior, então podemos dizer que a área entre duas curvas consecutivas é

A = ∫ 0 1 x n - x n + 1 d x

Os limites de integração são dados pelo domínio que o enunciado estabelece.

E sabemos que se somarmos todas as áreas de n = 1 até n → ∞ , vamos chegar a área abaixo da primeira curva.

∫ 0 1 x d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 x n - x n + 1 d x

Vamos calcular essas integrais e substituir aqui.

Passo 2

Pra calcular as integrais, como são só integrais de polinômio, basta usar

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Vamos lá, como são integrais definidas, não temos a constante de integração

∫ 0 1 x d x = x 2 2 0 1 = 1 2 - 0 = 1 2

∫ 0 1 x n - x n + 1 d x = x n + 1 n + 1 - x n + 2 n + 2 0 1 = 1 n + 1 - 1 n + 2

Passo 3

Como definimos no passo 1:

∫ 0 1 x d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 x n - x n + 1 d x

Substituindo o que achamos no passo 2:

1 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 - 1 n + 2

Vamos trabalhar com o termo da série

a n = 1 n + 1 - 1 n + 2

Fazendo MMC

a n = n + 2 - n + 1 n + 1 n + 2

a n = 1 n + 1 n + 2

Substituindo na série

∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 n + 2 = 1 2

Agora vamos manipular mais um pouco!

Passo 4

Como queremos o termo 1 n ( n + 1 ) , vamos substituir k = n + 1 , ou n = k - 1 na série

∑ k - 1 = 1 ∞ 1 k k + 1 = 1 2

∑ k = 2 ∞ 1 k k + 1 = 1 2

Mas a série do enunciado começa com o índice k = 1 , então vamos ter que somar esse primeiro termo do outro lado para igualar

Quando k = 1 o termo vale 1 / 2 , então

∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1 = 1 2 + 1 2

∑ k = 1 ∞ 1 k k + 1 = 1

Podemos substituir k por n que não vai fazer diferença, mas chegamos no que ele queria.

Resposta

Demonstração.

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Suponha que sum_(k = 1)^n a_k = - 5 sum_(k = 1)^n b_k = 6 Determine os valores de e.sum_(k = 1)^n ( b_k - 2 a_k )
Suponha que sum_(k = 1)^n a_k = 0 esum_(k = 1)^n b_k = 1 Determine os valores deb.sum_(k = 1)^n 250 b_k
Suponha que sum_(k = 1)^n a_k = - 5 sum_(k = 1)^n b_k = 6 Determine os valores de b.sum_(k = 1)^n (b_k)/(6)
Suponha que sum_(k = 1)^n a_k = 0 esum_(k = 1)^n b_k = 1 Determine os valores ded.sum_(k = 1)^n ( b_k - 1 )
Suponha que sum_(k = 1)^n a_k = - 5 sum_(k = 1)^n b_k = 6 Determine os valores de d.sum_(k = 1)^n ( a_k - b_k )