Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (n - 1)/(n 4^n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (n - 1)/(n 4^n)

E isso vale para n >= 1 .

Para compararmos, vamos usar

b_n = (n)/(n 4^n) = (1)/(4^n)

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, pois ela é uma série geométrica com r < 1 , então ela converge.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b_n = (n)/(n 4^n) é que

a_n < b_n , AA n >= 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

(n - 1)/(n 4^n) < (n)/(n 4^n)

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador e nós sabemos que n - 1 < n sempre, pois se tirarmos 1 de um numero, o próprio número vai ser sempre maior.

Então como a_n <= b_n , AA n >= 1 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n converge, pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (n - 1)/(n 4^n)

É convergente.

Resposta

Converge.

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