Enunciado

Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício 39 da seção 14.7 .

Determine a menor distância entre o ponto ( 2 ,   0 ,   - 3 ) e o plano x + y + z = 1 .

Passo 1

Na seção 14.7 resolvemos o problema 39 isolando z na equação do plano e substituindo na função da distância. Agora resolveremos o mesmo problema porém usando os multiplicadores de Lagrange!

Queremos achar um ponto ( x ,   y ,   z ) cuja distância até ( 2 ,   0 ,   - 3 ) seja mínima. Assim, queremos minizmizar a função

d 2 = f x , y , z = x - 2 2 + y 2 + z + 3 2

Todavia, esse ponto deve estar no plano x + y + z = 1 , de modo que queremos minimizar f sujeita à restrição

g x , y , z = x + y + z - 1 = 0

Assim, os candidatos a solução do problema são dados por

∇ f = λ   ∇ g

Passo 2

Tomando os gradientes:

∇ f = 2 x - 2 ,   2 y ,   2 z + 3

∇ g = ( 1 ,   1 ,   1 )

Assim, a equação fica

x - 2 ,   y ,   z + 3 = λ   ( 1 ,   1 ,   1 )

Portanto,

x - 2 = λ y = λ z + 3 = λ ⇒ x = 2 + λ y = λ z = λ - 3

Substituindo na equação do plano:

x + y + z = 1 ⇒ 2 + λ + λ + λ - 3 = 1 ⇒ 3 λ = 2 ⇒ λ = 2 3

Assim, obtemos

x = 2 + 2 3 = 8 3 ,           y = 2 3           e             z = 2 3 - 3 = - 7 3

Como só obtemos um candidato a mínimo e sabemos que pela natureza do problema esse mínimo existe, esse ponto é a solução do problema!

Assim, a distância será

d 2 = 8 3 - 2 2 + 2 3 2 + - 7 3 + 3 2 = 4 9 + 4 9 + 4 9

Logo,

d = 2 3 3

Resposta

d = 2 3 3

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