Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

3 + 2 + 4 3 + 8 9 + …

Passo 1

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar achar o termo geral, para sabermos como ela se comporta.

Essa série é uma série geométrica com a = 3 e r = 2 3 , como descobrimos isso? O a é sempre igual ao primeiro termo e para achar o r , basta dividir o segundo pelo primeiro e depois testar se essa é realmente uma série geométrica.

Neste caso realmente da certo, então podemos escrever essa série como

∑ n = 0 ∞ 3 2 3 n

Passo 2

Agora que sabemos que se trata de uma série geométrica, basta testarmos o r pra saber se ela converge. Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = 2 3 e sabemos que 2 3 < 1 então a série converge.

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Jogando a = 3 e r = 2 3

∑ n = 0 ∞ 3 2 3 n = 3 1 - 2 3 = 3 1 3 = 9

Resposta

3 + 2 + 4 3 + 8 9 + … = 9

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