Enunciado

Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r h , onde 0 < r < 1 . Suponha que a bola seja solta de uma altura inicial de H metros.

  1. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (use o fato de que a bola cai 1 2 g t 2 metros em t segundos.)
  2. Calcule o tempo total que a bola pula.
  3. Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade v , ela rebaterá com velocidade - k v , onde 0 < k < 1 . Quanto tempo levará para a bola parar?

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certo?

Vamos para mais uma questão de séries.

Na letra (a) precisaremos calcular a soma dos termos dessa série ( s n )   para achar a distância que ela percorre quando pula indefinidamente ( n → ∞ )

Na letra (b) usaremos o dado de que a bola cai 1 2 g t 2   em t segundos para achar o valor de t .

Para finalizar, na letra (c) encontraremos o tempo que a bola vai levar para parar.

Vamos passo a passo.

Passo 2

Começando pela (a):

A bola começa a uma altura H e cai até o chão, depois vai subir r H , e logo após cair essa mesma distancia, vamos considerar n o número de vezes que a bola tocou o chão, podemos dizer que, e s n a distância percorrida antes desse número de quicadas

s 1 = H

s 2 = H + 2 r H

Para o próximo valor de n a bola vai ter caído uma distância r H e então ela vai subir r 2 H e assim por diante:

s 3 = H + 2 r H + 2 r 2 H

O 2 aparece nos termos, pois ele percorre a mesma distancia na subida e na decida, de forma geral podemos dizer que após n quicadas temos:

s n = H + 2 r H + 2 r 2 H + … + 2 r n - 1 H

Passo 3

Continuando nossa letra (a):

Essa é quase uma série geométrica, se somarmos H dos dois lados temos

s n + H = 2 H + 2 r H + 2 r 2 H + … + 2 r n - 1 H

Vemos então que os termos da série são do tipo 2 H r i como o i   variando de 0 até n conforme somamos mais e mais termos:

s n + H = ∑ i = 0 n 2 H r i

Isolando a distancia:

s n = - H + ∑ i = 0 n 2 H r i

Para saber a distancia total percorrida, basta aplicar n → ∞ , quando isso acontece sabemos que a série geométrica converge para a 1 - r , se r < 1 , neste caso temos a = 2 H e 0 < r < 1 , então a distancia total S é igual a

S = lim n → ∞ ⁡ s n = - H + ∑ i = 0 ∞ 2 H r i = - H + 2 H 1 - r

Fazendo MMC para subtrair as frações e tornar uma só:

S = - H 1 - r + 2 H 1 - r = - H + H r + 2 H 1 - r

Simplificando, temos:

S = H + H r 1 - r

Colocando H em evidencia:

S = H 1 + r 1 - r

Pronto! Encontramos a soma e finalizamos a letra (a).

Passo 4

Vamos agora para a letra (b):

No enunciado do item (a) ele fala que a bola cai 1 2 g t 2 metros em t segundos. Como calculamos a distancia total, podemos usar essa informação para calcular o tempo:

S = 1 2 g t 2

Isolando o t 2 , já que o tempo é nossa incógnita:

t 2 = 2 S g

Aplicando a raiz dos dois lados para elimarmos o expoente de t :

t = 2 S g

Substituindo S que já achamos na letra (a):

t = 2 H g 1 + r 1 - r

Assim finalizamos nossa letra (b).

Passo 5

Por fim, temos nossa letra (c):

Para este item ele fala que sempre que a bola chega ao chão a uma velocidade v , ele volta a subir com uma velocidade - k v , como a questão não nos fornece a resistência do ar, podemos considera-la nula, então a bola retorna ao chão com velocidade k v e volta a subir com velocidade - k 2 v e assim sucessivamente. Pensa comigo, se isso acontecer a bola sempre vai subir com uma velocidade, por mais pequena que ela seja, ela sempre vai estar quicando, e a bola só vai parar quando t → ∞ .

Resposta

  1. S = H 1 + r 1 - r .
  2. t = 2 H g 1 + r 1 - r .
  3. t → ∞ .
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