Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ n = 1 ∞ 2 + n 1 - 2 n

Passo 1

Pessoal, a teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente!. Show, vamos dar uma olhada na série que nos foi dada:

lim n → ∞ ⁡ 2 + n 1 - 2 n

Passo 2

Vamos resolver o limite? A primeira coisa que podemos fazer é dividir o numerador e o denominador por n , pra facilitar as nossas contas e nos livrarmos de resultados indesejáveis. Assim,

lim n → ∞ ⁡ 2 / n + 1 1 / n - 2

O que nos leva a ter:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 1 n - 2 = 1 2

Como o nosso resultado é diferente de zero, temos que a série em questão é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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