Determine a solução

a) d^2x/dt^2 - 3x = cos(3t)

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x t = x h + x p

Sendo x h uma solução homogênea e x p a parte da solução particular.

Para achar o x h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

d 2 x d t 2 - 3 x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → d 2 x d t 2 = λ 2 e λ t , assim:

d 2 x d t 2 - 3 x = 0 → λ 2 e λ t - 3 e λ t = e λ t λ 2 - 3 = 0

e λ t λ 2 - 3 = 0 → λ 2 - 3 = 0 → λ = ± 3

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x h t pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 ≠   λ 2 então podemos reescrever x como sendo:

x h t = A e λ 1 t + B e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = 3   e   λ 2 = - 3

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

x h t = A e 3 t + B e - 3 t  

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

O nosso caso é o a 0 cos ⁡ α t então vamos aplicar as possibilidades, como o nosso α = 3 não é solução da equação homogênea, e b = 0 , vamos aplicar o segundo caso, então:

f t = m cos ⁡ 3 t

Temos agora que achar m , pra isso substituímos na equação homogênea pra ver se bate:

d 2 m cos ⁡ 3 t d t 2 - 3 m cos ⁡ 3 t = cos ⁡ 3 t

d m cos ⁡ 3 t d t = - 3 m sin ⁡ 3 t → d - 3 m sin ⁡ 3 t d t = - 9 m cos ⁡ 3 t

- 9 m cos ⁡ 3 t - 3 m cos ⁡ 3 t = cos ⁡ 3 t → - 12 m cos ⁡ 3 t = cos ⁡ 3 t

- 12 m = 1 → m = - 1 12

Pronto! Agora temos f t =   - 1 12 cos ⁡ 3 t

Passo 4

Substituindo:

x t = x h + x p → x t = A e 3 t + B e - 3 t - 1 12 cos ⁡ 3 t

Resposta

x t = A e 3 t + B e - 3 t - 1 12 cos ⁡ 3 t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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