Determine a solução

g) x¨ + x = 2 \* sen(t)

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

x t = x h + x p

Sendo x h uma solução homogênea e x p a parte da solução particular.

Para achar o x h , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

x ¨ + x = 0

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + x = 0 → λ 2 e λ t + e λ t = e λ t λ 2 + 1 = 0

e λ t λ 2 + 1 = 0 → λ 2 + 1 = 0 → λ 2 = - 1 → λ = ± - 1 = ± 1 i 2 = ± i

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

y t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = 0   e   β = 1

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

y t = e 0 t A cos ⁡ 1 t + B sin ⁡ 1 t   = A cos ⁡ t + B sin ⁡ t

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se f t = a 0 sin ⁡ α t , procede como no caso, f t = a 0 cos ⁡ α t

Temos que para esse caso vamos analisar as possibilidades do tipo a 0 sin ⁡ α t , vamos ver se sin ⁡ α t é solução da equação homogênea. Por isso, usaremos x p = m t cos ⁡ α t + n t sin ⁡ α t = m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t :

Para fazer isso, vamos usar que

m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t ¨ + m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t ˙ = 2 sin ⁡ t

m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t ˙ = m sin ⁡ t + m t cos ⁡ t + n cos ⁡ t - n t sin ⁡ t

m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t ¨ = m cos ⁡ t + m cos ⁡ t - m t sin ⁡ t - n sin ⁡ t - n sin ⁡ t - n t cos ⁡ t =

m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t ¨ =   2 m cos ⁡ t - m t sin ⁡ t - 2 n sin ⁡ t - n t cos ⁡ t

Agora substituindo:

2 m cos ⁡ t - m t sin ⁡ t - 2 n sin ⁡ t - n t cos ⁡ t + m t sin ⁡ t + n t cos ⁡ t = 2 sin ⁡ t

cos ⁡ t 2 m - n t + n t + sin ⁡ t - m t - 2 n + m t = 2 sin ⁡ t → 2 m - n t + n t = 0 - m t - 2 n + m t = 2

2 m = 0   e - 2 n = 2 → m = 0   e   n = - 1

Então:

x p = - 1 t cos ⁡ t

Passo 4

Substituindo:

x t = A cos ⁡ t + B sin ⁡ t - t cos ⁡ t

Resposta

x t = A cos ⁡ t + B sin ⁡ t - t cos ⁡ t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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