Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ´ ´ - 2 y ´ - 3 y = c o s ⁡ ( 2 x )

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 - 2 r - 3 = 0 que tem solução r 1 = 3   e   r 2 = - 1   a solução da parte homogenia será:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x = c 1 e 3 x + c 2 e - x

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes à determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A c o s 2 x + B s e n ( 2 x )

Suas derivadas ficam y p ´ = - 2 A s e n 2 x + 2 B c o s 2 x  

e y p ´ ´ = - 4 A c o s 2 x - 4 B s e n 2 x

onde y ´ ´ - 2 y ´ - 3 y = c o s ⁡ ( 2 x )

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

- 4 A c o s 2 x - 4 B s e n 2 x - 2 - 2 A s e n 2 x + 2 B c o s 2 x - 3 ( A c o s 2 x + B s e n 2 x = c o s ⁡ ( 2 x )

Agrupando em cos ⁡ 2 x e   s e n 2 x   nós teremos:

- 7 a - 4 B cos ⁡ 2 x + 4 A - 7 B s e n 2 x = c o s ⁡ ( 2 x )

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados tem q ser iguais assim

- 7 A - 4 B = 1   e   4 A - 7 B = 0

A = 7 B 4   substituindo em - 7 A - 4 B = 1 nós temos A = - 7 65 então B = - 4 65

y p = - 7 65 cos ⁡ 2 x - 4 65 s e n ( 2 x )

A solução da equação diferencial não homogenia será:

y x = y h + y p = c 1 e 3 x + c 2 e - x - 7 65 cos ⁡ 2 x - 4 65 s e n ( 2 x )

Resposta

y x = c 1 e 3 x + c 2 e - x - 7 65 cos ⁡ 2 x - 4 65 s e n ( 2 x )

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