Enunciado

Determine os traços:

Ache a equação da superficie de pontos P = ( x , y , z ) cuja distância ao eixo y é 2 3 da distância de P ao plano x z . Identifique a superficie.

Passo 1

Bom galera, vamos começar encontrando a equação P = ( x , y , z ) , pra isso sabemos que:

A distância ( D 1 ) de P ao eixo y é 2 3 da distância ( D 2 ) de P ao plano x z , logo:

D 1 = 2 3 D 2

E usamos o teorema de Pitágoras pra encontrar:

D 1 2 = x 2 + z 2

→ D 1 = x 2 + z 2

Já a distância de P ao plano x z é simplesmente:

D 2 2 = y 2

→ D 2 = y 2

Agora voltamos pro que a questão deu:

x 2 + z 2 = 2 3 y 2

→ x 2 + z 2 = 4 9 y 2

→ x 2 + z 2 - 4 9 y 2 = 0

Que é a equação de um cone.

Passo 2

Belezinha, agora vamos determinar os traços de superfície, isso são as curvas de interseção da superfície com os planos cordenados, basta gerarmos cada variável separadamente, vamos lá:

Primeiro zeramos x .

( 0 ) 2 + z 2 - 4 9 y 2 = 0

→ z 2 - 4 9 y 2 = 0

Logo, no traço y z temos duas retas concorrentes. Agora zeramos y :

x 2 + z 2 - 4 9 ( 0 ) 2 = 0

→ x 2 + z 2 = 0

Assim, no traço x z vemos a equação de uma circunferência mas com raio 0 , então temos um ponto.

Passo 3

Por fim, só falta o no eixo z :

x 2 + ( 0 ) 2 - 4 9 y 2 = 0

→ x 2 - 4 9 y 2 = 0

E no traço x y temos também duas retas concorrentes.

Resposta

x 2 + z 2 - 4 9 y 2 = 0

E q u a ç ã o   d o   c o n e

T r a ç o   y z : D u a s   r e t a s   c o n c o r r e n t e s

T r a ç o   x z : U m   p o n t o

T r a ç o   x y : D u a s   r e t a s   c o n c o r r e n t e s

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