Enunciado

Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1000   c m 3 que tenha a área de sua superfície mínima.

Passo 1

Pessoal, considerando que o volume da caixa seja dado pela equação x y z = 1000 , poderíamos escrever a função área de superfície da caixa assim:

S = 2 x y + 2 x z + 2 y z   ,           s e n d o   0 < x ,   y ,   z < 1000

Mas podemos escrever z = 1000 x y por causa da equação do volume:

S = 2 x y + 2 x 1000 x y + 2 y 1000 x y

S = 2 x y + 2000 y + 2000 x

Passo 2

Show! Agora precisamos minimizar a função. Vamos determinar as derivadas parciais:

f x = 2 y - 2000 x 2  

f y = 2 x - 2000 y 2

Para termos f x = 0 e f y = 0 simultaneamente:

2 y - 2000 x 2 = 0 ⇒ y = 1000 x 2

2 x - 2000 y 2 = 0 ⇒ y 2 = 1000 x

Passo 3

A partir das duas equações encontradas anteriormente, temos:

y 2 = 1000 x 2 2 = 1000 x

1000 x 3 = 1

x = 10

Agora substituímos esse valor de x na expressão de y :

y = 1000 x 2 = 1000 10 2 = 10

Passo 4

Como o único ponto crítico encontrado foi 10 ,   10 , podemos considerar que esse é o ponto que minimiza a função S . Para concluir a tarefa de identificar as dimensões da caixa, só falta calcular z :

z = 1000 x y = 1000 10   .   10 = 10

Resposta

10   c m × 10   c m × 10   c m

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