Enunciado

Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é

P = 2 p q + 2 p r + 2 r q

onde p , q e r são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que p + q + r = 1 para mostrar que P é no máximo 2 3 .

Passo 1

Pessoal, podemos substituir p = 1 - q - r na função P para obter uma função de somente duas variáveis:

P = 2 1 - q - r q + 2 1 - q - r r + 2 r q

P = 2 q - 2 q 2 - 2 r q + 2 r - 2 r q - 2 r 2 + 2 r q

P = 2 q - 2 q 2 - 2 r q + 2 r - 2 r 2   ,                     q ≥ 0   ,       r ≥ 0   ,       q + r ≤ 1

Passo 2

Show! Agora precisamos maximizar a função P . Vamos determinar as derivadas parciais:

P r = - 2 q + 2 - 4 r  

P q = 2 - 4 q - 2 r

Para termos P r = 0 e P q = 0 simultaneamente:

- q + 1 - 2 r   = 0 ⇒ q = 1 - 2 r

1 - 2 q - r = 0 ⇒ q = 1 2 - r 2

Passo 3

A partir das duas equações encontradas anteriormente, temos:

q = 1 - 2 r = 1 2 - r 2

2 - 4 r = 1 - r

r = 1 3

Agora substituímos esse valor de r na expressão de q :

q = 1 - 2 r = 1 - 2 1 3 = 1 3

Passo 4

Show! Encontramos então um único ponto crítico, vamos calcular P nesse ponto:

P 1 3 , 1 3 = 2 1 3 - 2 1 3 2 - 2 1 3 1 3 + 2 1 3 - 2 1 3 2 = 2 3

Agora, lembre-se que temos que comparar esse valor com os valores de P nas fronteiras, que são, neste caso:

q = 0   ,       r = 0   ,       q + r = 1

P 0 ,   r = 2 r - 2 r 2   ,           0 ≤ r ≤ 1

P q ,   0 = 2 q - 2 q 2   ,           0 ≤ q ≤ 1

P q ,   1 - q = 2 q - 2 q 2   ,           0 ≤ q ≤ 1

Coincidentemente, para nossa alegria, todas as três fronteiras nos deram as mesmas parábolas cujo valor máximo é:

P = 1 2 < 2 3

Então, realmente, o ponto crítico nos deu o maior valor de P , então provamos que P é no máximo 2 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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